Bienvenido a esta sección, aquí encontrarás:
Una cita que me pareció graciosa
Demostración de Euclides de que hay infinitos primos.
Cómo las cigarras se protegen de las bacterias con números primos.
Explicación de los dos tipos de grupos de primos (4n+/-1)
PGP (encriptación)

De momento, buena parte de lo puesto aquí lo he sacado del libro El enigma de Fermat", que yo tengo en catalán. Por tanto, a lo mejor el número de página no concuerda con el castellano.
Si tienes cualquier duda, quieres una aclaración, o aportarme algo (lo pondría con o sin tu nombre, con o sin tu mail, como tu digas...), tampoco dudes en hacermelo llegar (carles arroba pinux.info

Cita famosa...
Los teóricos de los números consideran a los números primos los números más importantes de todos, porque son los átomos de la matemática. Los números primos son los bloques de la construcción numérica, porque todos los otros números pueden ser creados multiplicando combinaciones de números primos.

Bibliografia: página 121 de "El enigma de Fermat"

Demostración de Euclides de que hay infinitos primos...
La demostración de que hay una infinidad de primos se remonta a Euclides, y es uno de los argumentos clásicos de la matemática. Inicialmente, Euclides asume que hay una lista finita de números primos conocidos, y entonces demuestra que tiene que existir un número infinito de adiciones a esta lista. Hay N números primos en la lista finita de Euclides, los cuales son etiquetados P1, P2, P3, ... Pn. Euclides entonces puede generar un nuevo número Qa tal que:

Qa=(P1 x P2 x P3 x ... x Pn) + 1

Este nuevo número, Qa, o bien es primo o bien no es primo. Si es primo, entonces hemos conseguido de generar otro primo más grande, y por tanto nuestra lista original de primos no era completa. De otro modo, si Qa no es primo, entonces será perfectamente divisible por algún primo. Y este número primo no puede ser ninguno de los primos anteriores conocidos, porque la división de Qa por cualquiera de los primos conocidos anteriormente inevitablemente dejará como resta 1. Por tanto, es necesario que haya otro primo, que podemos etiquetar Pn+1.

Ahora hemos llegado a la situación en la cual o bien Qa es un nuevo primo o bien tenemos otro primo nuevo, Pn+1. En cualquier de los dos casos hemos añadido otro número primo en nuestra lista. Ahora podemos de repetir el proceso, añadiendo nuestro nuevo primo (Pn+1 o Qa) en nuestra lista, y generar otro número Qb. O bien este nuevo número volverá a ser otro nuevo primo, o hay otro número primo, Pn+2, que no es de nuestra lista de primos conocidos. El resultado de este argumento es que, por larga que sea nuestra lista de números primos, siempre es posible encontrar otro nuevo. Por tanto, la lista de primos es inacabable e infinita.

Bibliografía: 122 de "El enigma de Fermat"

Cómo se protege la cigarra con números primos.
Las cigarras periódicas, muy especialmente la Magicicada septendecim , tienen el ciclo vital más largo de todos los insectos. Su único ciclo vital empieza bajo tierra, donde las ninfas absorven pacientemente el zumo de las raíces de los árboles. Entonces, después de 17 años de esperar, las cigarras adultas emergen de la tierra en gran número e invaden temporalmente nuestro paisaje. Unas semanas después se aparean, ponen los huevos y mueren.
La cuestión que inquietaba a los zoólogos era: ¿Por qué el ciclo vital de la cigarra es tan largo? Qué quiere decir  que el ciclo vital sea un número primo de años? Otra especie, la Magicicada tredecim, aparece cada 13 años, lo que indica que los ciclos vitales que son un número primo de años dan algún tipo de ventaja para la conservación de la vida.

Según una teoria, la cigarra tiene un parásito que también recorre un ciclo vital, y que la cigarra está intentando evitar. Si el parásito tiene un ciclo vital, pongamos, de 2 años, entonces la cigarra quiere evitar un ciclo vital que sea divisible por 2, sinó el parásito y la cigarra coincidirán regularmente. De esta manera parecida, si el parásito tiene un ciclo vital de 3 años, entonces la cigarra querrá evitar un ciclo vital divisible por 3, si no el parásito y la cigarra volverán a coincidir. . Al fin, si se quiere evitar de encontrase con su parásito, la mejor estratégia de la cigarra es darse un ciclo de vida largo, que dure un número primo de años. Como nada dividirá el 17, la Magicicada septendecim raramente se encontrará con su parásito. Si el parásito tiene un ciclo de 2 años, solo se contrarán cada 34 años, y si tiene un ciclo vital más largo, de 16 años p. ej., sólo se encontrarán cada 272 (16 x 17) años.

En su turno, el parásito, si quiere luchar, sólo tiene dos ciclos vitales que incrementan la frecuencia de las coincidéncias: el del ciclo anual y el mismo ciclo de 17 años que la cigarra. Ahora bien, es poco probable que el parásito pueda sobrevivir y reaparecer 17 años seguidos, porque durante las 16 primeras apariciones no habrá cigarras a las cuales parasitar. De otro modo, si quieren conseguir el ciclo de 17 años, las generaciones de parásitos tendrán que evolucionar primero durante un ciclo vital de 16 años. Esto significaria que, en algún estadio evolutivo de su vida, el parásito y la cigarra no coincidiran durante 272 años! En cualquier caso, el largo ciclo vital de las cigarras, y el número primo de años, las protege.

¡Esto podría explicar por qué el supuesto parásito no ha sido encontrado nunca! En la lucha por coincidir con la cigarra, el parásito probablemente ha continuado alargando su ciclo vital, hasta conseguir transpasar la barrera de los 16 años. Entonces dejará de coincidir durante 272 años; mientras tanto su falta de coincidencia con las cigarras le habrá llevado a la extinción. El resultado es una cigarra con un ciclo vital de 17 años; ciclo que ya no le hace ninguna falta porque su parásito ya no existe.

Bibliografía: página 128 de "El enigma de Fermat"

4n+/-1 primo
Leonhard Euler, uno de los más grandes matemáticos del siglo XVIII, intentó demostrar una de las más elegantes observaciones de Fermat, un teorema referido a los números primos. Todos los números primos pueden ser repartidos en dos grupos, el que forman los que son iguales a 4n+1 y los que son iguales a 4n-1, donde n es algún número natural. Por tanto, el 13 es del primer grupo (4x3+1), mientras que el 19 es del segundo grupo (4x5-1). El teorema de Fermat de los números primos decía que el primer tipo de números primos equivaldria siempre a la suma de dos cuadrados (13=2²+3²) mientras que el segundo tipo no podría escribirse nunca de esta manera (19=?²+?²). Esta propiedad de los números primos es bella y simple, pero es extremadamente difícil demostrar que es verdad para cualquier número primo. Pues bien, para Fermat esta era sólo una de las muchas demostraciones que habia guardado para él. Para Euler, el desafío consistía en volver a conocer la demostración de Fermat. Finalmente, el 1749, después de 7 años de trabajo y casi 100 más tarde de la muerte de Fermat, Euler conseguió demostrar este teorema de los números primos.

Bibliografía: página 93 de " El enigma de Fermat"

PGP (encriptación)
Los números primos tienen aplicaciones en otros ámbitos, como en el espionaje o en el estudio de la evolución de los insectos

La teoría de los números primeros es una de las pocas áreas de la matemática pura que ha encontrado aplicación directa en el mundo real, concretamente en la criptografía. La criptografía estudia los métodos para cifrar mensajes secretos de manera que solo puedan ser descifrados por el receptor, y por nadie más que los pueda interceptar. El proceso de cifraje requiere el uso de una clave secreta; lo más corriente es que para descifrar el mensaje, al receptor solo le hace falta aplicar la clave al revés. Con este procedimiento, la clave de cifraje y descifraje es el elemento más débil de la cadena de seguridad. En primer lugar, el emisor y el receptor han de ponerse de acuerdo sobre los detalles de la clave y la transmisión de esta información es un proceso arriesgado. Si un tercero, un enemigo, puede interceptar la clave mientras se está intercambiando, podrá traducir todo aquello que se comunique desde entonces. En segundo lugar se han de cambiar las claves de vez en cuando para preservar la seguridad de las transmisiones y cada vez que esto ocurre hay un nuevo riesgo de que la clave sea interceptada.

El problema de la clave gira en torno al hecho de que aplicarla en un sentido cifrará el mensaje y aplicarla en el sentido contrario lo descifrará; es decir, que descifrar un mensaje es casi tan fácil como cifrarlo. A pesar de ello, la experiencia nos dice que hay muchas situaciones cotidianas en que descifrar es mucho más difícil que cifrar.

Durante la década de los setenta, Whitfield Diffie y Martin Hellman se propusieron encontrar un proceso matemático que fuese fácil de llevar a término en una dirección, pero muy difícil de realizar en la dirección opuesta. Un proceso como este formaría la clave perfecta para los mensajes cifrados. Por ejemplo, yo podría tener la clave dividida en dos partes y publicar la parte correspondiente al cifraje. Cualquiera podría enviarme mensajes cifrados, pero solo yo conocería la parte descifradora de la clave.
En 1977 Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman, un equipo de matemáticos y científicos informáticos del Massachusetts Institute of Technology, se dieron cuenta que los números primos eran la base ideal para un proceso de cifraje fácil y descifraje difícil.

Cuando quisiera tener mi propia clave, tendría que tomar dos números primos muy grandes, de hasta 80 dígitos cada uno, y los multiplicaría para encontrar un número no primo más grande. Para cifrar el mensaje solo haría falta conocer el número grande no primo; para descifrarlo haría falta conocer los dos números primos originarios que fueron multiplicados, conocidos como factores primos. Ahora puedo publicar el número grande no primo (parte cifradora de la clave) y guardarme los dos factores primos (parte descifradora). Lo que cuenta es que aunque todo el mundo pueda conocer el número grande no primo, la dificultad de obtener los números primos sería inmensa.

Ponemos el ejemplo del 589 (que yo podría hacer público como la parte cifradora de la clave), a un ordenador personal le haría falta menos de un segundo para encontrar que los dos números primos son el 31 y el 19 (31 x 19=589), pero nos referimos a un número de más de 100 cifras; varios años de trabajo para los ordenadores más potentes del mundo, por tanto, para hacer perder el rastro a los espías, sería suficiente con cambiar la clave una vez al año.

Bibliografía: página 126 de "El enigma de Fermat"