Extractos de libros que hacen referencia a números primeros.

Opera Omnia volumen 17 Leonard Euler.

• 1742: Christian Goldback a Euler: todo entero puede expresarse como la suma de 2 primeros

• Euclides, en el siglo III a.C., demostró que los números primeros son infinitos.

• Todo entero positivo es la suma de cuatro cuadrados

• Todo par mayor que 2 es suma de 2 primeros

• Conforme n tienda a infinito, la cantidad de primeros se aproxima a n/ln n.

• Los antiguos griegos y después de ellos los grandes matemáticos de la ilustración europea, como Pierre de Fermat, Leonard Euler y Carl-Fridrich Gauss, habían descubierto una variedad de teoremas interesantes relacionadas con los números primeros. Sin embargo, hasta mediados del siglo XIX, las verdades más fundamentales sobre ellos permanecieron fuera del alcance de los matemáticos. Las principales eran dos: su distribución (es decir, la cantidad de números primeros menores que un entero dado n) y las pautas de su sucesión, la escurridiza fórmula mediante la cual, partiendo de un número primero dado Pn, uno podía determinar el siguiente, Pn+1. A menudo (quizás infinitamente a menudo, según una hipótesis), los números primeros sólo están separados por dos enteros, en pares como 5 y 7, 11 y 13, 41 y 43 o 9857 y 9859 (el mayor de dichos pares conocidos es (en el año 1998) 835335^39014. Sin embargo, en otros casos, dos números primeros consecutivos pueden estar separados por centenares de miles de millones de enteros no-primeros; de hecho, es fácil demostrar que para cualquier entero dado k, es posible encontrar un sucesión de enteros k que no contiene un solo nero primero (digamos que k es un entero dado, el conjunto (k+2)!+2, (k+2)!+3, (k+2)!+4, ..., (k+2)!+(k+2) cotiene enteros k ninguno de los cuales es primero, puesto que cada uno de ellos es divisible por 2, 3, 4, ..., k+1, k+2 respectivamente).

  La aparente ausencia de un principio establecido de organiación en la distribución o sucesión de los números primeros había traído de cabeza a los matemáticos durante siglos y proporcionando gran parte de su atractivo a la teoría de los números.

  La teoría analítica de los números nació en 1837, con la prueba de Dirichlet de la infinitud de los primeros en las sucesiones aritméticas. Sin embargo, no llegó a su punto culminante hasta finales del siglo XIX. Unos años antes que Dirichlet, Carl Friedrich Gauss había hecho una buena tentativa con su fórmula asintótica (es decir una aproximación que es más precisa a medida que n crece) de los números primeros inferiores a un entero determinado n. Sin embargo, ni él ni nadie después de él había sugerido siquiera una prueba. Luego, en 1859, Bernard Riemann introdujo una suma infinita en el plano de los números complejos, denominada desde entonces "función zeta de Riemann", que prometía ser una herramienta nueva extremadamente útil. Sin embargo, para emplearla con eficacia, los teóricos de números debían abandonar sus técnica algebraicas tradicionales (comúnmente llamadas "elementales") y recurrir a los métodos del análisis complejo; es decir, el cálculo infinitesimal aplicado al plano de los números complejos.

  Pocas décadas después, cuando Hadamard y De la Vallée-Poussin consiguieron demostrar la fórmula asintótica de Gauss empleando la función zeta de Riemann (un resultado conocido desde entonces como "teorema de los números primeros") el método analítico pareció de pronto convertirse en la llave mágica para penetrar e nlos secretos más recónditos de la teoría de los números.

• Prueba de la 2º conjetura de Goldbach (todo impar mayor que 5 es la suma de tres números primeros).

• Fermat fue el primero en señalar la forma general, obviamente extendido las observaciones antiguas según las cuales esto era así para los primeros 4 valores de n; es decir, para:

  2^2^1 + 1 = 5,2^2^2 + 1 = 17,2^2^3 + 1 = 257,2^2^4 + 1 = 65537

  todos primos. Sin embargo, más tarde se demostró que para n=5,2^2^5 + 1 es igual a 4.294.967.297, un número compuesto, ya que es divisible por los primeros 641 y 6.700.417. Las conjeturas no siempre pueden demostrarse.

  (de la hipótesis que sostenía que todos los números de la forma 2^2^n+1 eran primeros).